1r ciclo Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

[_OJ_287_]

Hola muy buenas, no se como se hace esta ecuacion. Hace un tiempo la pregunte y me contestaron areldepi y Al2000. Las respuestas fueron buenas pero he retomado hoy el estudio y realmente el paso de la integracion no lo entiendo (ando un poco verde en integracion) . La ecuacion es esta:
f´(x)= a+b*f(x).
a y b son constantes.

Arreldepi lo integraba de esta manera: (Os dejo la url)
http://forum.lawebdefisica.com/threa...il%C2%B4%C2%B4

Bueno pues eso es, aber si alguien me echa una mano, es que me estoy comiendo la olla, porque en el libro de calculo me ponen este ejercicio sin haber llegado al tema de la integracion (esto de la UNED jeje...) me dice que sustituya a+bf(x) por u(x) ¿¿¿¿¿¿??????
Muchas gracias y un saludo a todos!

[alejandrito29]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

tambien es una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes,

$\frac{df(x)}{dx} - b f (x) = a$

la solución homogenea es al resolver $\frac{df(x)}{dx} - b f (x) = 0$, usas el método

$(D-b) f(x)= 0 \to D=b \to f(x)_{homogenea} = Ce^{Dx} = C e^{bx}$

para $f$ constante queda $-b f (x)= a \to f(x)_{particular}= -\frac{a}{b}$

Luego la solución es la homogenea mas la particular
$f(x) =C e^{bx}-\frac{a}{b}$
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Ahora si quieres $u = a + b f(x) \to u' = b f'$, entonces la eq diferencial $f' = a + b f(x)$ te queda $\frac{1}{b} u' = u \to \frac{du}{dx} = b u \to \frac{du}{u} = b dx \to \ln (u) = bx + c \to u = e^{bx+c} = e^{bx} e^c = C e^{bx}$
luego $a + b f(x)=C e^{bx} \to f(x) = C e^{bx} - \frac{a}{b}$

[_OJ_287_]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

Vaya, vaya, entonces el truco del almendruco es hacer dx/x=lnx.Yo no sabia esto.
Solo he mirado tu ultimo ejemplo, porque en el primero no se ue es ``D´´. Pero ya me sirve.
Buena respuesta tocayo. Gracias y un saludo!

[alejandrito29]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

Vaya, vaya, entonces el truco del almendruco es hacer dx/x=lnx.

Creo que estás un poco perdido, tendrás que trabajar duro, pero siempre se puede
lo que pasa es que si integras $\int \frac{du}{u} = b \int dx$ llegas a $\ln (u) = bx + c$

[_OJ_287_]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

Pues eso, lo que decia yo no? que du/u al hacer la integral se transforma en ln(u) .
Y un par de cosas : como es que e^(bx)*e^c es Ce^(bx). Por otro lado, el ultimo paso no se como haces para que salga Ce^(bx)-a/b, a mi me sale, todo entre b.
Jajajaja, si que estoy perdido, llevo sin hacer integrales 6 años pero bueno poco a poco voy tirando jejej , ademas la ayuda de este foro es inigualable. A ver si algun dia puedo ser yo el que ayude por que me da verguenza solo preguntar...
Ya lo siento por ponertelo asi pero no se como se ponen los numeros en plan guay
Un saludote y gracias otra vez!

[Brunow]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

Buenas alelanda, te explico:

cuando escriben $e^{bx}.e^c=Ce^{bx}$ en realidad es un abuso de notacion, lo que quieren decir es que $e^{c}={C}_{1 }$, es decir, es una constante que depende de las condiciones iniciales (las suelen dar en el ejercicio). por ejemplo si la solucion a tu EDO es $u(x)={C}_{1 }e^{bx}$ y tenes que como condicion inicial que $u(0)=1$, entonces $u(0)=Ce^{b.0}=1 \to C=1$ y por lo tanto tu solucion es en ese caso, $u(x)=e^{bx}$. y en cuanto al despeje final hizo algo parecido, abuso de notacion, prolijo seria: $a+bf(x)={C}_{1} e^{bx} \to f(x)={C}_{2 }e^{bx}-\frac{a}{b} \text{ donde } {C}_{2 }=\frac{{C}_{1 }}{b}$

[_OJ_287_]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

Gracias bruno todo claro. Un saludo.

[Brunow]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

de nada =) un abrazo compañero